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Chinese Journal of Management Science

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2024 , Vol. 32 >Issue 11: 115 - 124

DOI: https://doi.org/10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2022.2584

Dynamic Control and Optimization of Production with Capital Injection

  • Kuankuan Zheng 1, 2 ,
  • Jiyang Tan , 1 ,
  • Zhike Lv 2 ,
  • Longlong Niu 1
Expand
  • 1. School of Mathematics and Computation Science，Xiangtan University，Xiangtan 411105，China
  • 2. Business Shool，Xiangtan University，Xiangtan 411105，China

Received date: 2022-11-29

  Revised date: 2023-02-20

  Online published: 2024-12-09

Fold

Abstract

A common problem in the production and management of enterprises，especially retail enterprises， how to make reasonable purchasing and production plans to achieve the business objectives of enterprises， is studied in this paper. In addition to production，sales，inventory and other activities，paying dividends to shareholders and accepting capital injection from shareholders are also essential links of enterprises. It is of practical significance to formulate purchasing and production strategies with the goal of maximizing shareholders’ interests.On the basis of previous relevant studies，it is considered that enterprises operate a class of products，similar to the multi-cycle newsboy model. An enterprise controls the purchase or production and capital flow，adopts the barrier dividend strategy to pay dividends to shareholders at the end of each cycle，or accepts capital injection from shareholders when the amount of cash held is insufficient to pay the optimal production cost in the next period. In addition，it is assumed that the unit production cost of any period，the unit selling price of the previous period and the quantity demanded obey a joint distribution. In this paper，a discrete time Markov decision model is proposed to maximize the future cumulative expected discounted returns of shareholders，the aim is to find the optimal production strategy and the corresponding optimal value function. Under the condition that the assessment period is limited，the iterative relation satisfied by the optimal value function is given by the formula of total expectation. When the assessment period is unlimited，the Bellman equation satisfied by the value function is given，and the optimal value function is proved to be the only solution by the contraction mapping principle.Finally，a numerical example is given according to the method provided in this paper，and the results mainly provide the following information： 1） When the duration of the assessment period is limited，the optimal production strategy of each period which is far away from the expiration time basically remains unchanged. When other conditions remain unchanged，the optimal production of each period shows a monotonous trend with the increase of the initial inventory. When the inventory reaches a certain value，the production is 0，indicating that the inventory should be sold first and no reproduction is needed. 2） When the duration of the assessment period is unlimited，the value function of a finite assessment period with sufficient length can approximate the optimal value function of the infinite case. The length of the finite assessment period can be calculated when the error is given. 3） No matter the assessment period is finite or infinite，the value of the optimal value function is affected by the dividend barrier，and the decision maker can adjust the dividend barrier appropriately to achieve the optimal state.A decision method for enterprises is provided，and the research on enter prise decision making is enriched.

Key words： capital injection strategy; barrier dividend strategy; optimal production strategy; Bellman equation; contraction mapping

Cite this article

Kuankuan Zheng , Jiyang Tan , Zhike Lv , Longlong Niu . Dynamic Control and Optimization of Production with Capital Injection[J]. Chinese Journal of Management Science, 2024 , 32(11) : 115 -124 . DOI: 10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2022.2584

1 引言

对于企业特别是制造业和零售业企业来讲，制订合理的产品采购和生产计划是决策者尤为关心的问题。对于一些季节性商品和易逝性商品（如生鲜、报纸、服饰等），如果生产或订购的产品数量和市场需求有较大差异，则会面临失去应得的利润或者商品滞销的问题，这都会减少企业收益。因此，面对未知的市场需求，综合已知的信息和经验，选取适当的方法制订采购和生产计划以达到盈利目标是企业经营的一个重要内容。除了生产、销售和库存等行为外，当代企业大部分会选择用发行股票等方法筹集资金，并按一定的周期给股东分红；分红和注资作为连接投资者和公司的桥梁，是公司经营决策的重要环节，这在一定程度上保证了股东投资的回报和资金的良性运转。分红和注资等行为的存在使得企业的经营目标不再局限于成本最小化或者利润最大化，以股东的利益最大化为目标的经营方式被大多数企业接受。股东利益最大化间接要求企业控制成本，采用新技术，这有利于增强产品的竞争力和增加市场占有份额；并且，股东利益最大化激励企业不断壮大其实力和规模，有利于社会就业。因此，在企业进行生产、销售、库存、分红、注资等行为时，以最大化股东的收益为目标，研究最优采购和生产策略以及寻找对应的目标值，具有重要的理论价值和现实意义。
关于采购和生产优化问题的研究中，最经典的是“报童模型”，最简单的报童模型是指在单周期内需求随机的情形下，寻找使得期望利润最大化或者期望成本最小化的订购量。多年来，众多学者结合现实情况对报童模型进行扩展研究，多周期的报童模型是其中一个重要方面，这解决了供应周期长、需求不稳定的产品采购和生产问题，部分相关研究见文献［1-4］。本文的研究模型相当于一个复杂的多周期报童模型，目的是找到符合目标的各周期内的采购和生产决策。
关于优化目标方面，Yang等［5］确定了最优订货量和销售价格，使得实现目标利润的概率最大和实现目标收入的概率最大。Pasandideh和Keshavarz［6］假设需求随机且服从正态分布，定义了一个衡量绩效、商誉和客户满意度的目标函数和最小化总成本的目标函数，得到了使两目标最优的订购量。Ota等［7］假设报童是一个风险厌恶者，引入对数效用函数来表示不同初始财富水平对应的效用水平，提出了一种基于投资者初始财富的不同水平来确定最优订购量的方法，以实现期望效用的最大化。本文的优化目标与以往文献的不同点在于，考虑了企业给股东分红和接受股东注资这两种情况，以分红或注资后股东未来的累积期望贴现收益（即累积期望贴现红利额与贴现注资额之差）最大化为目标，借助概率统计的方法获得各周期的最优生产策略，并得到对应的最优累积期望贴现收益。
首先，股东是企业的投资者，给股东分红理所当然。通常情况下，我国大部分公司在盈利后会给股东分红，这向外界传递了企业财务质量优异的信号，不仅有利于企业的融资，也有利于刺激消费者对产品的需求。众多学者研究了关于分红的各种问题，比如Zhou和Ruland［8］探讨了红利支付和个体公司未来收益增长之间的关系，并对50年时间跨度内的大量公司样本研究结果显示，二者之间存在强烈的正相关关系，并证实了该结果的稳健性。Tan和Yang［9］研究了保险公司的最优分红问题，在具有常数有界红利率的复合二项模型中，寻找最优分红策略以使破产前的累积期望贴现红利最大，证明了最优值函数是离散HJB方程的唯一解，并给出了获得最优分红策略的一个简单算法。陈名芹和刘星［10］借鉴报童模型，以公司所有者为先行者，建立了预期投资收入和现金分红比例之间的斯塔克伯格博弈模型，分析最优现金持有方案的设置及其对公司所有者和高管的影响。其他部分相关研究可见文献［11，12］。关于分红方式，以往文献中较为常用的有边界分红、阈值分红、单（多）门槛分红等分红策略，本文假设在各生产周期末，决策者采用最常见的边界分红策略给股东分红，即当此时的持有现金量超过一给定值，超出部分全部作为红利分给股东，否则不分红。
其次，在实际的生产活动中，很多决策者并不满足于仅仅依赖当前持有的现金量来制订生产计划，而是通过发行股票等方式注入资金，将当前持有的现金量提升至合适水平，以满足最优生产的要求，这可以在一定程度上延缓公司的经营寿命，使公司获得更多收益。诸多文献在模型中考虑了注资因素，比如李岩和刘国欣［13］在带注资的经典风险模型中引入最优停止策略，目标是找到最优停止时刻，使股东的贴现分红额与带有交易费的贴现注资额之差的期望值最大化。Tan等［14］在复合二项马尔可夫模型中考虑了分红和注资因素，当索赔额导致公司盈余赤字时允许股东注资，文章以最大化累积期望贴现红利和贴现注资的差为目标，给出了计算最优策略和值函数的有效方法。李鹏等［15］用漂移Brown运动表示公司的现金流，研究了公司的最优注资问题。其他部分相关研究可见文献［16，17］。借鉴以往研究，本文也考虑了公司存在注资的情况，假设在各生产周期末，公司持有现金量不足以支付下期的单位成本，便接受股东注资。
此外，简单的报童模型仅考虑需求量是随机变量，而实际的销售环境是复杂的，存在多个随机变量的情形也比较常见，部分相关研究可见文献［18-21］。本文假设除了需求量之外，各周期始端的单位成本和上一周期末的单位售价也是随机变量，并且这三个变量服从联合分布。
本文在以往研究的基础上，考虑企业经营一类产品，类似于多周期报童模型。企业控制采购、生产和资金的流动，在各周期末采用边界分红策略给股东分红，或者根据生产需要进行融资。此外，假设任意周期的单位生产成本和上一期的单位售价、需求量服从一个联合分布。文中给出了一个离散时间的马氏决策模型，以最大化股东未来的累积期望贴现收益为目标，寻找最优生产策略及对应的最优值函数。其中，在考察期时长有限制的条件下，用全期望公式给出了最优值函数满足的迭代关系式；在考察期时长无限制时，给出了值函数满足的Bellman方程，并用压缩映射原理证明最优值函数是Bellman方程的唯一解。最后，根据前文提供的方法给出数值算例，并对结果进行分析。本文的创新点在于：（1）丰富了报童模型的研究内容，在模型中考虑了分红和注资因素，更贴近现实情形；（2）与以往相关研究的目标不同，本文以最大化股东未来的累积期望贴现收益为目标制定采购和生产策略；（3）创新地使用了Bellman迭代算法，可以计算考察期时长无限制时的最优生产策略及最优值函数。

2 问题描述

假设企业以一定量的本金生产、销售和储存一类产品，在各周期始端的单位成本是随机的，决策者据此制订生产计划，并在各周期末销售产品。各周期初始的单位成本受前一周期末的销售价格、需求量影响，三者服从一联合分布。在各周期末，若供给量（包括当期产量和库存量）大于市场需求量，则剩余的产品被储存，到下个时期继续销售，按照下个时期的销售价格售卖；反之，则不考虑因缺货造成的损失。在各周期末，为库存产品支付库存费，同时考虑给股东分红或者接受股东注资：若此时持有的现金量不足以支付下期的最优生产成本，则接受股东注资；若此时持有现金量超过一个给定的边界，则超出部分作为红利分发给股东；若持有现金量介于下期最优生产成本和分红边界之间，则不分红也不注资，继续下个时期的经营活动。以上描述的生产经营活动流程可描述为如图1所示的形式：
图1 生产经营流程示意图
t表示各个时刻，分红边界 b是一非负整数，用 U t表示分红或注资之后 t时刻的持有现金量，则 U t ≤ b。假设公司有经营历史，当前时刻为0时刻，且持有现金量 U 0 = u ∈［0， b］。第 t（ t=1，2，…）个周期内即 ( t - 1 , t ]时间区间内的单位成本、单位售价、销售量分别用 P 1 t、 P 2 t、 S t表示，且 P 1 t、 P 2 , t - 1、 S t - 1服从一个联合分布： F ( p 1 , p 2 , s ) = P r ( P 1 t ≤ p 1 , P 2 , t - 1 ≤ p 2 , S t - 1 ≤ s )，概率函数为 f ( p 1 , p 2 , s )，且 0 ≤ p 1 ≤ p ˜ 1， 0 ≤ p 2 ≤ p ˜ 2， s ≥ 0， p ˜ 1和 p ˜ 2是一给定的非负整数。单位产品单位时间内的库存成本是一定值，用 P 3（ P 3 > 0）表示。在任意时刻 t，若前一瞬间的现金量 U t - > b，则给股东分红，分红量记为 d t = b - U t -。
若需要通过让股东注入资金增加公司持有的现金量，则最多可以使现金量提升至 b。公司在第 t（ t=1，2，…）个生产周期内的生产计划量记为 ϕ t，显然，每个生产周期内的生产计划受库存量及单位成本的影响，因允许注资而不受持有现金量的约束，假设第 t个生产周期始端的单位成本为 p 1，持有库存量为 g，定义 ϕ t ( p 1 , g ) ∈ [ 0 , b p 1 ]为第 t个生产周期的可行生产策略： ϕ t ( p 1 , g ) + g ≤ g ˜， g ˜为给定的非负整数。所有可行生产策略构成的集合用 Φ表示，决策者选择的最优生产计划 ϕ t * ( p 1 , g )是使得未来累积期望贴现收益最大的生产策略。如果时刻 t - 1（ t=1，2，…）前一瞬间的持有现金量 U ( t - 1 ) -小于第 t个周期的最优生产成本 p 1 ϕ t * ( p 1 , g )，则股东需要注资，注资额为 z t = p 1 ϕ t * ( p 1 , g ) - U ( t - 1 ) -。
由以上假设可知，分红和注资决策不会同时发生， t - 1（ t=1，2，…）时刻之前支付库存费之后，剩余的现金量及随后的最优成本决定了 t时刻的决策是分红还是注资。本文用 σ t ( U t - , G t ) = d t - z t统一描述在 t时刻前一瞬间持有现金量为 U t -，持有库存量为 G t的条件下的红利额或注资额。若 σ t ( U t - , G t ) > 0，则表示 t时刻的分红量；若 σ t ( U t - , G t ) < 0，则表示 t时刻需要注资（其绝对值表示注资额）。所以， σ t描述了 t时刻的现金流向及额度。

3 有限时间内的生产优化

首先对有限时间区间 ( 0 , n ]内的生产进行优化，周期数 n > 1。由第2部分的假设可知，公司在 t（ t=1，2，…， n）时刻前一瞬间持有的现金量为：
U t - = U t - 1 - P 1 t ϕ t + P 2 t [ ( G t - 1 + ϕ t ) ∧ S t ] - P 3 ( ( G t - 1 + ϕ t - S t ) ∨ 0 ) )
t时刻的现金量为：
U t = U t - - σ t ( U t - - G t )
其中， U 0 = u， G t = ( G t - 1 + ϕ t - S t ) ∨ 0。在最优生产策略 ϕ *之下， t时刻的分红或注资决策 σ t ( U t - , G t )也受到 ( t , t + 1 ]时期内的最优生产成本 P 1 , t + 1 ϕ t + 1 * ( P 1 , t + 1 , G t )的影响，即 t时刻的现金流向及额度为：
σ t ( U t - , G t ) = U t - - b ,             P 1 , t + 1 ϕ * t + 1 ( P 1 , t + 1 , G t ) ≤ b < U t - 0 ,                          P 1 , t + 1 ϕ * t + 1 ( P 1 , t + 1 , G t ) ≤ U t - ≤ b U t - - P 1 , t + 1 ϕ * t + 1 ( P 1 , t + 1 , G t ) ,                                  U t - < P 1 , t + 1 ϕ * t + 1 ( P 1 , t + 1 , G t ) < b
对任意策略 ϕ ∈ Φ，用 V k ( u , g , p 1 )表示在时刻 k（ k=0，1，2，…， n）持有现金量为 u，库存量为 g，单位成本为 p 1时，未来的累积期望净收益贴现到 k时刻的值，并称之为值函数，则值函数为：
V k ( u , g , p 1 ) = E [ ∑ t = k + 1 n ν t - k σ t ( U t - , G t ) | U k = u , G k = g , P 1 , k + 1 = p 1 ]
其中， u ∈ N b , g ∈ N g ˜ ,   p 1 ∈ N p ˜ 1， N x表示集合｛0，1，2，…， x｝，贴现因子 ν ∈（0，1）。本文的目标是找到使得值函数 V 0 ( u , g , p 1 )达到最大的最优生产策略 ϕ k * ( p 1 , g )和对应的最优值函数：
V 0 * ( u , g , p 1 ) = s u p ϕ k ( p 1 , g ) ∈ Φ V 0 ( u , g , p 1 )
对任意策略 ϕ ∈ Φ，决策者在 k + 1时刻面临需求小于供给或者需求大于供给的情形，以 k + 1时刻为更新点，根据值函数的定义式（3）和全期望公式，可以得到 V k ( u , g , p 1 )满足的迭代关系：对 ∀ u ∈ N b , g ∈ N g ˜ , p 1 ∈ N p ˜ 1 , k ∈ N n - 1，有：
V k ( u , g , p 1 ) = ν ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g [ V k + 1 ( u - p 1 ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g - s ) - σ k + 1 ( u 1 , g k + 1 ) , g k + 1 , p ' 1 ) + σ k + 1 ( u 1 , g k + 1 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ν ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ V k + 1 ( u - p 1 ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g ) - σ k + 1 ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ k + 1 ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
其中，对任意的 u , g和 p 1， V n ( u , g , p 1 ) = 0，且有：
g k + 1 = ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g - s
u 1 = u - p 1 ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g - s )
u 2 = u - p 1 ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ k + 1 ( p 1 , g ) + g )
σ k + 1 ( u , g ) = u - b ,                                       p ' 1 ϕ k + 2 ( p ' 1 , g ) ≤ b < u 0 ,                                               p ' 1 ϕ k + 2 ( p ' 1 , g ) ≤ u ≤ b u - p ' 1 ϕ k + 2 ( p ' 1 , g ) ,           u < p ' 1 ϕ k + 2 ( p ' 1 , g ) < b
另外，需要说明的是， p 1和 p ' 1分别表示周期 ( k , k + 1 ]始端和周期 ( k + 1 , k + 2 ]始端的单位成本， s是周期 ( k , k + 1 ]内的市场需求量。
由以上分析可知，若策略 ϕ是最优的，则：
V * k ( u , g , p 1 ) = ν s u p m ∈ { 0,1 , … , u / p 1 } { ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 m + g [ V k + 1 ( u - p 1 m + p 2 s - P 3 ( m + g - s ) - σ k + 1 ( u 1 , g k + 1 ) , g k + 1 , p ' 1 ) + σ k + 1 ( u 1 , g k + 1 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = m + g + 1 ∞ [ V k + 1 ( u - p 1 m + p 2 ( m + g ) - σ k + 1 ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ k + 1 ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
其中， g k + 1、 u 1、 u 2、 σ k + 1的定义见式（5）~式（8）， ϕ k + 1 ( p 1 , g )改为 m。依据前文的假设，生产决策不受当前持有现金量的约束，所以，决策者总是在假设当前持有现金量为最大即 b时制定生产决策。综上可以得到关于各期最优生产决策的如下定理：
定理1 设 ϕ k ( p 1 , g ) ∈ Φ是一个最优策略，则对任意的   g ∈ N g ˜， p 1 ∈ N p ˜ 1， k ∈｛1，2，…， n｝，有：
ϕ k ( p 1 , g ) = ν a r g s u p m ∈ { 0,1 , … , u / p 1 } { ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 m + g [ V k ( b - p 1 m + p 2 s - P 3 ( m + g - s ) - σ k ( u 1 , g k ) , g k , p ' 1 ) + σ k ( u 1 , g k ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = m + g + 1 ∞ [ V k + 1 ( b - p 1 m + p 2 ( m + g ) - σ k ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ k ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
其中， g k = m + g - s， u 1 = b - p 1 m + p 2 s - P 3 g k， u 2 = b - p 1 m + p 2 ( m + g )，
σ k ( u , g ) = u - b , 0 , u - p ' 1 ϕ k + 1 ( p ' 1 , g ) ,        p ' 1 ϕ k + 1 ( p ' 1 , g ) ≤ b < u p ' 1 ϕ k + 1 ( p ' 1 , g ) ≤ u ≤ b u < p ' 1 ϕ k + 1 ( p ' 1 , g ) < b
由以上分析可知，可以根据式（4）和定理1交互迭代计算得最优生产策略 ϕ k * ( p 1 , g )（ k=1，2，…， n）和相应的值函数 V k - 1 * ( u , g , p 1 )。其中，变量 u指 k - 1时刻（给股东分红或接受股东注资之后）的现金量，在持有现金量不足以支付下期的最优生产成本时，公司会让股东注资到生产所需的现金量水平，那么 u的取值范围为：
u ∈ [ p 1 ϕ k * ( p 1 , g ) , b ] ⊂ [ 0 , b ]
迭代的初始值为 V n * ( u , g , p 1 ) = 0， ϕ n + 1 * ( p 1 , g ) = 0。后文中会给出具体的数值例子。
式（4）和定理1反映的现实规律是：在考察期时长有限时，相邻周期内的最优生产决策以及最优值函数具有相依关系；它们之间的互相影响说明决策者在制定生产决策时不仅要考虑当前的环境条件，也要兼顾未来的发展。

4 无时间限制的生产优化

本部分假设考察期时长没有限制，公司可以一直经营下去，直到无法支付库存费用时停止生产（即注资仅为下一周期的生产成本需求而设定），停产时刻记为 τ，是一随机变量，其他记号同第2部分。在本部分，经营过程从任意时刻开始都可以视为从0时刻开始，因此，最优生产策略与时间无关，仅需讨论与时间无关的生产策略。这导致相应的值函数及一些相关的量也将与时间无关。各时间区间始端的单位生产成本 P 1和上一周期末的单位售价 P 2、需求量 S都是随机变量，且服从联合分布 F ( p 1 , p 2 , s ) = P r ( P 1 ≤ p 1 , P 2 ≤ p 2 , S ≤ s )，仍用 f表示密度函数。公司在时刻 t（ t=0，1，2，…）持有的现金量仍可用式（1）描述。值函数表示为：
V ( u , g , p 1 ) = E [ ∑ t = 1 τ ν t σ t ( U t - , G t ) | U 0 = u , G 0 = g , P 1 = p 1 ] , u ∈ N b , g ∈ N g ˜ , , p 1 ∈ N p ˜ 1
可行生产策略的定义和第2部分的定义相同，所有与时间无关可行生产策略的集合仍用 Φ表示。本文的目的是找到使得值函数 V ( u , g , p 1 )达到最大的最优生产策略 ϕ * ( p 1 , g )和对应的最优值函数：
V * ( u , g , p 1 ) = s u p ϕ ( p 1 , g ) ∈ Φ V ( u , g , p 1 )
对于任意策略 ϕ ∈ Φ，决策者在1时刻（即初始时刻之后的第1个时刻）面临需求小于供给或者需求大于供给的情形，根据值函数的定义式（12）和全期望公式，以1时刻为更新点，可以得到值函数满足的如下方程：对任意 u ∈ [ p 1 ϕ ( p 1 , g ) , b ]，有：
V ( u , g , p 1 ) = v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ ( p 1 , g ) + g [ V ( u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ ( p 1 , g ) + g - s ) - σ ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ V ( u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ ( p 1 , g ) + g ) - σ ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
其中，
g ' = ϕ ( p 1 , g ) + g - s
u 1 = u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ ( p 1 , g ) + g - s )
u 2 = u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ ( p 1 , g ) + g )
σ ( u , g ) = u - b , 0 , u - p ' 1 ϕ ( p ' 1 , g ) ,     p ' 1 ϕ ( p ' 1 , g ) ≤ b < u p ' 1 ϕ ( p ' 1 , g ) ≤ u ≤ b u < p ' 1 ϕ ( p ' 1 , g ) < b
显然，最优值函数满足：对 ∀ u ∈ N b， g ∈ N g ˜， p 1 ∈ N p ˜ 1，有：
V * ( u , g , p 1 ) = v s u p m ∈ { 0,1 , … , u / p 1 } { ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 m + g [ V * ( u - p 1 m + p 2 s - P 3 ( m + g - s ) - σ ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = m + g + 1 ∞ [ V * ( u - p 1 m + p 2 ( m + g ) - σ ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
上式中的 g ' 、 u 1 、 u 2 、 σ的定义见式（14）~式（17），其中函数 ϕ ( p 1 , g )改为 m。
由式（13）~式（18）及最优生产策略的定义，可以证明最优值函数的存在性和唯一性。为了获得这一结论，首先给出如下定义。
定义1 （1） S是由定义在 N b × N g ˜ × N p ˜ 1上的所有三元有界实函数构成的空间，且对任意的 X , Y ∈ S，距离 d ( X , Y ) = s u p u , g , p 1 | X ( u , g , p 1 ) - Y ( u , g , p 1 ) |。
（2） T是空间 S上的一个映射，若存在一个数 0 < α < 1，使得对任意的 X , Y ∈ S，有 d ( T X , T Y ) ≤ α d ( X , Y )，则称 T是压缩映射， T有且只有一个不动点［22］。
（3）对任意的 X ∈ S，定义
ϕ X ( p 1 , g ) = ν a r g s u p m ∈ { 0,1 , … , u / p 1 } { ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 m + g [ X ( b - p 1 m + p 2 s - P 3 ( m + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ X ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = m + g + 1 ∞ [ X ( b - p 1 m + p 2 ( m + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ X ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
其中， g ' = m + g - s， u 1 = b - p 1 m + p 2 s - P 3 g '， u 2 = b - p 1 m + p 2 ( m + g )，此外，
σ X ( u , g ) = u - b , 0 , u - p ' 1 ϕ X ( p ' 1 , g ) ,       p ' 1 ϕ X ( p ' 1 , g ) ≤ b < u p ' 1 ϕ X ( p ' 1 , g ) ≤ u ≤ b u < p ' 1 ϕ X ( p ' 1 , g ) < b
空间 S可以视为一个 ( b + 1 ) × ( g ˜ + 1 ) × ( p ˜ 1 + 1 )维实向量空间，所以，上述定义了距离 d的空间 S是 l ∞的子空间，由空间 S对柯西列极限的封闭性可知， S是一完备度量空间。
定理2 对 ∀ u ∈ N b , g ∈ N g ˜ , p 1 ∈ N p ˜ 1，有 ϕ ( p 1 , g ) ∈ S , V ( u , g , p 1 ) ∈ S。
证明：由于 ϕ ( p 1 , g ) ≤ b p 1， p 1有界，则 ϕ ( p 1 , g )有界。
假设在第 k个周期（ k=1，2，…）始端拥有库存 g，单位成本为 p 1，采用策略 ϕ ( p 1 , g )进行采购和生产。因为 ϕ ( p 1 , g ) + g ≤ g ˜，所以，该期收益 σ k ( U k - , G k ) ≤ p ˜ 2 g ˜，其中不等式右端表示该期最大收益。由此可得未来的累积期望贴现收益为：
V ( u , g , p 1 ) = ∑ k = 1 ∞ σ k ( U k - , G k ) v k ≤ p ˜ 2 g ˜ v 1 - v
即 V ( u , g , p 1 )有界，所以 V ( u , g , p 1 ) ∈ S。
最优策略满足如下的性质：
定理3 对任意的 u ∈ N b， g ∈ N g ˜， p 1 ∈ N p ˜ 1，策略 ϕ ( p 1 , g ) ∈ Φ，相应值函数 V ( u , g , p 1 )为最优的充分必要条件是：
ϕ ( p 1 , g ) = ϕ V ( p 1 , g )
证明：必要性：如果值函数 V ( u , g , p 1 )是最优的，那么对任意的 u ∈ N b， g ∈ N g ˜， p 1 ∈ N p ˜ 1， V ( u , g , p 1 )同时满足式（13）和式（18），所以，生产策略 ϕ ( p 1 , g )满足式（21）。
充分性：假设 X ( u , g , p 1 ) ∈ S。定义空间 S上的算子 T：
T X ( u , g , p 1 ) = v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ X ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ X ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
上式中的 g ' 、 u 1 、 u 2的定义见式（14）~式（16），仅把其中的 ϕ ( p 1 , g )改为 ϕ X ( p 1 , g )； σ X ( u , g )的定义见式（20）。若式（21）成立，则式（18）可以改写为：
V = T V
假设 X = X ( u , g , p 1 ) ∈ S  ， Y = Y ( u , g , p 1 ) ∈ S，
d ( T X , T Y ) = v s u p u , g , p 1 | ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ X ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ X ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) - ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ Y ( p 1 , g ) + g [ Y ( u - p 1 ϕ Y ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ Y ( p 1 , g ) + g - s ) - σ Y ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ Y ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) - ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ Y ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ Y ( u - p 1 ϕ Y ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ Y ( p 1 , g ) + g ) - σ Y ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ Y ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) |
对任意固定的 u、 g、 p 1，不妨设 T X ( u , g , p 1 ) ≥ T Y ( u , g , p 1 )，那么，有：
d ( T X , T Y ) ≤ v s u p u , g , p 1 | ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ X ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ X ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) - ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g [ Y ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ X ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) - ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ Y ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ X ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) |
上式等价于：
d ( T X , T Y ) ≤ v s u p u , g , p 1 | ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) - Y ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g - s ) - σ X ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ X ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) - Y ( u - p 1 ϕ X ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ X ( p 1 , g ) + g ) - σ X ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) |
由此可得：
d ( T X , T Y ) ≤ v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ X ( p 1 , g ) + g d ( X , Y ) f ( p ' 1 , p 2 , s ) + v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ X ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ d ( X , Y ) f ( p ' 1 , p 2 , s ) = v d ( X , Y )
因为 0 < ν < 1，由式（24）可知，算子 T是 S上的一个压缩映射，那么 T有且只有一个不动点。由此可知，当式（21）成立时，最优值函数是式（18）的唯一解。充分性得证。
定理3提供了计算最优生产策略和最优值函数的迭代算法。根据式（19）和式（21）可计算得到各期的最优生产策略 ϕ 1 * ( p 1 , g ) , ϕ 2 * ( p 1 , g ) , … , ϕ n * ( p 1 , g ) , …。计算最优值函数 V * ( u , g , p 1 )通常采用Bellman迭代算法，任意给定 S中的初始函数 W 0 ( u , g , p 1 )，根据如下公式计算函数序列 { W 1 ( u , g , p 1 ) , W 2 ( u , g , p 1 ) , … , W n ( u , g , p 1 ) , … }：
W n ( u , g , p 1 ) = v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = 0 ϕ ( p 1 , g ) + g [ W n - 1 ( u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 s - P 3 ( ϕ ( p 1 , g ) + g - s ) - σ ( u 1 , g ' ) , g ' , p ' 1 ) + σ ( u 1 , g ' ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s ) + v ∑ p ' 1 = 0 p ˜ 1 ∑ p 2 = 0 p ˜ 2 ∑ s = ϕ ( p 1 , g ) + g + 1 ∞ [ W n - 1 ( u - p 1 ϕ ( p 1 , g ) + p 2 ( ϕ ( p 1 , g ) + g ) - σ ( u 2 , 0 ) , 0 , p ' 1 ) + σ ( u 2 , 0 ) ] f ( p ' 1 , p 2 , s )
由定理3可知，最优值函数是式（18）的唯一解，即映射 T的不动点，该不动点为：
V * ( u , g , p 1 ) = l i m n → ∞ W n ( u , g , p 1 ) = l i m n → ∞ T n W 0 ( u , g , p 1 )
这说明，当 n充分大时， W n ( u , g , p 1 )是最优值函数 V * ( u , g , p 1 )的近似值，由压缩映射原理可知，它们之间的误差 ε满足：
ε = d ( W n ( u , g , p 1 ) , V * ( u , g , p 1 ) ) ≤ ν n 1 - ν d ( W 0 ( u , g , p 1 ) , W 1 ( u , g , p 1 ) )
因此，只要给定足够小的 ε，便可根据式（26）确定最小迭代步数 N，使 W N ( u , g , p 1 )与最优值函数 V * ( u , g , p 1 )之间的差距不大于 ε。
另外，需要说明的是，每一步迭代中，现金量 u不小于所需的总生产成本，即值函数 V * ( u , g , p 1 )中变量 u的取值范围是：
u ∈ [ p 1 ϕ V * ( p 1 , g ) , b ] ⊂ [ 0 , b ]
式（19）和定理3反映的现实规律是：在考察期充分长或者无限长的时候，在相同条件（生产成本、销售价格等）下，各期所做的最优生产决策将保持不变，即满足式（21）。此外，由于贴现因子的存在或者说资金具有时间价值，离当前越久远的时刻，股东的收益现值越小，这导致股东未来的累积期望贴现收益将逐渐稳定在一个有限的水平，即定理中映射 T的不动点。

5 数值计算

根据第3、4节的方法，本节提供一个数值算例计算最优生产策略及相应的最优值函数，并对结果进行分析。
例：假设当期单位生产成本、上期单位售价及市场需求量服从的联合分布见表1，贴现因子 v = 0.98，分红边界 b = 10，初始时刻持有现金量 u ≤ 10， g ˜ = 25， p ˜ 1 = 20， p ˜ 2 = 30。
表1 联合分布
单位售价 单位成本 需求量 概率
1.2 3 1 0.07
1.2 3 2 0.07
1.2 3 3 0.09
1 2.8 4 0.11
1 2.8 5 0.11
1 2.8 6 0.12
0.8 2.6 7 0.1
0.8 2.6 8 0.09
0.8 2.6 9 0.09
0.6 2.4 10 0.06
0.6 2.4 11 0.05
0.6 2.4 12 0.04
首先考虑考察期长 n = 10的生产情形。根据第3部分提供的方法，可以计算出最优值函数 V 0 * ( u , g , p 1 )和最优生产策略 ϕ 1 * ( p 1 , g )的值。
最优生产策略 ϕ 1 * ( p 1 , g )只与单位成本 p 1和初始库存量 g有关，计算结果见表2。从表2中可以看出，给定 p 1的值， ϕ 1 * ( p 1 , g )随着 g的增加呈现单调不增的趋势，当 g达到某个值后， ϕ 1 * ( p 1 , g )都是0，说明当库存量多到一定程度时，企业应做出停止生产的决策，以销售库存为主；给定 g的值，可以看出 ϕ 1 * ( p 1 , g )随着 p 1的降低而增加，这符合实际情况，即生产成本越低，可生产的产品数量越多，也暗示了需求更旺盛。
表2 最优生产策略 ϕ 1 * ( p 1 , g )

p 1

g

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
1.2 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ……
1 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ……
0.8 12 12 10 10 10 9 9 9 9 5 5 4 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ……
0.6 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 13 13 13 11 11 8 8 8 7 6 4 4 3 2 1 0 ……
最优值函数 V 0 * ( u , g , p 1 )的值与初始现金量 u，初始库存量 g，初始单位成本 p 1有关。给定 g和 p 1的值，部分 V 0 * ( u , g , p 1 )随 u变化的值见表3。表中“-”代表 V 0 * ( 0,24,0.6 )的值不存在，由式（11）可知，这是因为 u = 0不足以支付当期最优成本 p 1 ϕ 1 * ( p 1 , g ) = 0.6 × 1 = 0.6。根据前文的假设和定义，此时公司会让股东注资到0.6，后续表格中“-”的含义同上。当 u> p 1 ϕ 1 * ( p 1 , g )时，从表3可以看出， V 0 * ( u , g , p 1 ) 随着 u的增加而增加。给定 u和 p 1的值，部分 V 0 * ( u , g , p 1 )随 g变化的值见表4，可见， V 0 * ( u , g , p 1 ) 随着 g的增加而增加。给定 u和 g的值，部分 V 0 * ( u , g , p 1 )随 p 1变化的值见表5，可以看出，最优值函数随着 p 1的减小而增大，或者保持不变。上述规律都符合人的直观感受，在其他条件不变的情况下，当公司持有初始现金量越多或者初始库存量越多或者单位成本越低，就应当增大生产量，以获得更多的收益。
表3 最优值函数 V 0 * ( u , g , p 1 )随 u的变化
u 0 1 2 3 4 5
V 0 * ( u , 9,1.2 ) 90.4834 91.4615 92.4996 93.4767 94.4560 95.4786
V 0 * ( u , 11,1 ) 92.6786 93.6563 94.6847 95.6673 96.6447 97.6596
V 0 * ( u , 15,0.8 ) 96.1290 97.1046 98.1151 99.0959 100.0731 101.0743
V 0 * ( u , 24,0.6 ) - 103.3881 104.3789 105.3806 106.3584 107.3439
u 6 7 8 9 10
V 0 * ( u , 9,1.2 ) 96.4572 97.4376 98.4574 99.4374 100.4174
V 0 * ( u , 11,1 ) 98.6407 99.6193 100.6322 101.6122 102.5922
V 0 * ( u , 15,0.8 ) 102.0545 103.0331 104.0323 105.0123 106.7644
V 0 * ( u , 24,0.6 ) 108.3382 109.3170 110.2995 111.2919 112.2719
表4 最优值函数 V 0 * ( u , g , p 1 )随 g的变化
g 0 1 2 3 4 5 6 7
V 0 * ( 4 , g , 1.2 ) - - - - - - 91.0087 96.1625
V 0 * ( 6 , g , 1.0 ) - - - - - 92.6786 93.6563 94.6847
V 0 * ( 8 , g , 0.8 ) - - 93.6321 94.4922 95.3226 96.1474 96.9537 97.7378
V 0 * ( 10 , g , 0.6 ) 97.2150 97.9784 98.7196 99.4349 100.1324 100.8169 101.4909 101.4909
g 8 9 10 11 12 13 14 ……
V 0 * ( 4 , g , 1.2 ) 93.3081 94.4560 95.6026 96.6447 97.5911 98.4462 99.2717 ……
V 0 * ( 6 , g , 1.0 ) 95.6673 96.6447 97.6596 98.6407 99.5834 100.4349 101.2567 ……
V 0 * ( 8 , g , 0.8 ) 98.5011 99.2717 100.0731 100.8920 101.6213 102.4191 103.2154 ……
V 0 * ( 10 , g , 0.6 ) 102.1435 102.7783 103.3881 103.9607 104.5910 105.2120 105.7365 ……
表5 最优值函数 V 0 * ( u , g , p 1 )随 p 1的变化
p 1 1.2 1.0 0.8 0.6
V 0 * ( 6,15 , p 1 ) 102.0545 102.0545 102.0545 102.9678
V 0 * ( 7,9 , p 1 ) 97.4376 97.6596 97.6596 -
V 0 * ( 8,12 , p 1 ) 101.5715 101.5715 101.6213 103.2372
V 0 * ( 9,5 , p 1 ) 94.6245 95.6673 95.6673 -
V 0 * ( 10,0 , p 1 ) 89.6899 91.6324 93.9339 97.2150
此外，本文还计算了各期的最优生产量，以供决策者参考，部分结果见表6。最优值函数与分红边界b的关系如表7所示。表7中“*”表示该值函数不存在，因为初始现金量 u > b的情况不存在。表7中结果大致体现了最优值函数随着分红边界的增加而先增后减的趋势，本例中分红边界设为6或者7可以使最优值函数达到最大。这说明，决策者可以通过调整分红边界达到使目标值达到最优状态，该结论在无时间限制的情形下也适用。
表6 各期的最优生产决策
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ϕ k * ( 1.2,0 ) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7
ϕ k * ( 1.0,5 ) 6 6 6 6 6 6 6 5 5 2
ϕ k * ( 0.8,8 ) 9 9 9 6 6 6 5 4 3 0
ϕ k * ( 0.6,12 ) 13 13 13 13 13 11 8 5 0 0
表7 不同分红边界 b对应的最优值函数
b 1 2 3 4 5
V 0 * ( 1,23,1.0 ) 61.6535 78.6145 78.9423 - -
V 0 * ( 2,25,0.6 ) * 85.5992 92.9882 99.5517 106.4432
V 0 * ( 4,15,1.2 * * * 85.1119 92.7129
V 0 * ( 5,16,0.8 ) * * * * 101.8918
b 6 7 8 9 10
V 0 * ( 1,23,1.0 ) 102.9689 102.8506 102.5169 101.7574 100.8060
V 0 * ( 2,25,0.6 ) 107.0991 106.6747 106.1683 105.3574 104.3789
V 0 * ( 4,15,1.2 101.0470 101.8460 101.7105 101.0303 100.0731
V 0 * ( 5,16,0.8 ) 103.7821 103.6673 103.4801 102.7901 101.8501

注：下划线数值表示最优分红边界对应的值函数。

最后，根据第4节的内容，本文计算出了无限期情形下的最优值函数，部分结果见表8。具体的计算方法是，根据式（26）设定误差 ε = 0.000001，计算得最小迭代步数 N = 1045，再根据式（25）进行迭代计算，得到的 W 1045 ( u , g , p 1 )即为最优值函数 V * ( u , g , p 1 )的近似值。本文还进行了部分 n > 1045步时的计算，观察计算结果发现：当 n > 1045时，值函数 W n ( u , g , p 1 )几乎保持不变，即在 n → ∞时，值函数趋于一个定值，该定值即为无时间限制情形下的最优值函数，这与理论部分吻合。
表8 无限期情形下的最优值函数
( u , g , p 1 ) V * ( u , g , p 1 )
(0,10,1.2) 523.7008
(2,8,1.2) 523.3789
(4,7,1.0) 524.7476
(6,6,1.0) 525.7250
(8,3,0.8) 525.7012
(10,5,0.6) 532.8930

6 结语

本文研究了一个存在多个变量的多周期报童模型问题，考虑在各周期末给股东分红或者接受股东注资，文中以最大化股东未来的累积期望贴现收益为目标寻找最优生产策略，提供了计算最优生产策略和最优值函数的递推法或迭代法。数值计算结果主要提供了以下信息：（1）在考察期有限长时，距离到期时刻较远的各期最优生产策略基本保持不变；其他条件不变时，各期最优生产量随着初始库存量的增加呈单调不增的趋势，当库存量达到某个值后，生产量为0，说明此时应当以销售库存为主，不需要再生产。（2）在考察期时长无限制时，可以用考察期充分长的有限期值函数近似无限期情形的最优值函数，其中有限考察期的长度可以通过给定的误差计算得到。（3）无论考察期时长有限还是无限，最优值函数的值都受分红边界的影响，决策者可以适当调整分红边界达到最优状态。本文的研究方法可以进一步推广到更复杂的模型，例如，考虑各周期的需求量及价格等具有自相关关系的情形，并采用其它更合理的分红方式；另外，寻找真实的企业数据进行模拟计算将更具有实际意义。

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