基于主动学习随机Kriging模型的在线质量设计方法

doi:10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2024.1370

摘要/Abstract

摘要：

针对未知随机噪声导致的质量特性波动较大的问题，提出了一种基于主动学习随机Kriging模型的在线质量设计方法。在线质量设计利用主动学习随机Kriging模型的主动学习能力，构建噪声响应下的期望改进准则来挑选新样本点，并完成模型的在线更新以进一步提升模型预测精度。实现过程中，首先在初始试验设计基础上完成随机Kriging模型构建，再利用主动学习方法不断更新随机Kriging模型，最后根据构建的期望二次质量损失模型进行质量设计。数值算例及仿真案例结果表明：相比采用主动学习常Kriging建模和离线随机Kriging建模的方法，所提方法能获得更加精确的响应曲面模型；且结合期望二次质量损失函数进行参数优化后，所提方法在同样的仿真计算资源下可有效过滤噪声，获得更为稳健的参数设计值。同时，从经济性视角提出了一种质量成本评价方法，结合历史生产数据可对获得的参数设计方案进行评价，为管理者提供决策依据。

关键词: 稳健参数设计, 随机Kriging模型, 主动学习, 在线质量设计, 质量成本

Abstract:

To address the low robustness of quality characteristics caused by unknown random noise， an online quality design method based on the active learning stochastic Kriging model is proposed. The online quality design method uses the active learning characteristic to select new sample points through the expected improvement criterion formulated under noisy response， then updates the model to improve prediction accuracy. The stochastic Kriging model is first constructed based on the initial design in the implementation process， then updated using active learning method， and finally， quality design is achieved through the expected quality loss function model. Numerical examples and simulation results demonstrated that the proposed method can obtain more accurate response surface model compared with methods using the ordinary Kriging model and offline stochastic Kriging. The proposed method can filter the noise and get more robust parameter design solutions with the same computation resources by utilizing the expected quality loss function model. Lastly， a quality cost evaluation method is proposed from an economic perspective， which evaluates the parameters of the design solutions obtained based on historical production data， providing managers with valuable information for decision-making.

Key words: robust parameter design, stochastic Kriging model, active learning, online quality design, quality cost

中图分类号:

O212.1

杜晨,林成龙,石雨葳, 等. 基于主动学习随机Kriging模型的在线质量设计方法[J]. 中国管理科学, 2026, 34(6): 171-186.

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图/表 20

图1

图2

表1

测试函数详情"

测试函数	函数表达式	输入空间
Branin	$f (x 1, x 2) = (x 2 - 5.1 4 π 2 x 12 + 5 π x 1 - 6) 2 + 10 × [(1 - 1 8 π) c o s (x 1) + 1] + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [- 5,10], x 2 ∈ [0,15]$
Sasena	$f (x 1, x 2) = 2 + 0.01 × (x 2 - x 12) 2 + (1 - x 1) 2 + 2 × (2 - x 2) 2 + 7 s i n (0.5 x 1) s i n (0.7 x 1 x 2) + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [0,5], x 2 ∈ [0,5]$
SixHump	$f (x 1, x 2) = (4 - 2.1 x 12 + 13 x 14) x 12 + x 1 x 2 + 4 × (x 22 - 1) x 22 + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [- 2,2], x 2 ∈ [- 2,2]$

表1

图3

图4

图5

表2

不同代理模型对3种测试函数响应面的拟合精度"

测试函数	噪声水平	SK			OK			PRS
测试函数	噪声水平	RMSE	MAPE	R²	RMSE	MAPE	R²	RMSE	MAPE	R²
Branin	$ε 1$	3.0042 3.0812	0.2846 0.2376	0.9942 0.9935	3.7644 6.0655	0.2969 0.5111	0.9900 0.9676	26.3487	1.7688	0.5914
	$ε 2$	3.0042 3.0812	0.2846 0.2376	0.9942 0.9935	3.7644 6.0655	0.2969 0.5111	0.9900 0.9676	26.149	1.8444	0.5804
	$ε 3$	3.7608	0.3432	0.9916	8.1683	0.7135	0.9469	26.9477	1.8217	0.4619
	$ε 4$	2.8871	0.2082	0.9939	5.2741	0.4593	0.9796	27.2716	1.7094	0.5089
	$ε 5$	2.6341	0.1967	0.9953	6.4183	0.3994	0.9746	28.4861	1.7532	0.4904
Sasena	$ε 1$	1.6567 1.7056	0.2991 0.3748	0.9335 0.9356	1.8622 1.9135	0.3340 0.3454	0.9226 0.9104	4.5045	1.0402	0.5577
	$ε 2$	1.6567 1.7056	0.2991 0.3748	0.9335 0.9356	1.8622 1.9135	0.3340 0.3454	0.9226 0.9104	4.3590	1.2071	0.5901
	$ε 3$	1.7970	0.1882	0.9196	1.8744	0.8463	0.9222	3.8015	0.8477	0.7148
	$ε 4$	1.7306	0.2344	0.9350	1.9214	0.3639	0.9117	3.7663	1.3212	0.7191
	$ε 5$	1.6495	0.2615	0.9400	1.8500	0.3050	0.9020	3.6276	1.4982	0.7528
SixHump	$ε 1$	0.8365 0.8996	1.2125 2.4534	0.9940 0.9938	2.4001 2.5798	5.0452 5.9249	0.9531 0.9422	5.0124	5.1456	0.8025
	$ε 2$	0.8365 0.8996	1.2125 2.4534	0.9940 0.9938	2.4001 2.5798	5.0452 5.9249	0.9531 0.9422	5.0763	6.2325	0.8044
	$ε 3$	1.3375	4.4200	0.9857	2.8718	7.7487	0.9326	5.2113	8.9155	0.7986
	$ε 4$	0.9749	2.4323	0.9920	2.4720	7.1867	0.9455	5.0834	9.0221	0.8088
	$ε 5$	0.9421	2.4206	0.9910	2.6686	5.9504	0.9470	5.1704	7.1502	0.7982
平均值	$ε 1$	1.8325 1.8955	0.5987 1.0219	0.9739 0.9743	2.6756 3.5196	1.8920 2.2605	0.9552 0.9401	11.9552	2.6515	0.6505
	$ε 2$	1.8325 1.8955	0.5987 1.0219	0.9739 0.9743	2.6756 3.5196	1.8920 2.2605	0.9552 0.9401	11.8614	3.0947	0.6583
	$ε 3$	2.2188	1.6753	0.9761	4.3048	3.1028	0.9339	11.9868	3.8616	0.6584
	$ε 4$	1.8642	0.9583	0.9736	3.2225	2.6700	0.9456	12.0404	4.0176	0.6789
	$ε 5$	1.7419	0.9596	0.9754	3.6456	2.2183	0.9412	12.4280	3.4672	0.6805

表2

表3

SK与OK模型在3种测试函数下的平均质量损失"

测试函数	噪声水平	SK		OK
测试函数	噪声水平	TQL	EQL	TQL	EQL
Branin（T=10）	$ε 1$	0.0052	0.0019	0.0015	0.0109
	$ε 2$	0.0592	0.0202	0.2122	0.0514
	$ε 3$	19.1593	0.2128	20.3620	3.0137
	$ε 4$	19.8900	0.2372	17.2525	0.4980
	$ε 5$	16.1944	0.0536	22.3737	1.8771
Sasena（T=20）	$ε 2$	0.0332	0.0031	0.0157	0.0130
	$ε 2$	0.0144	0.0014	0.0256	0.0130
	$ε 3$	9.3543	0.1923	11.3088	0.1982
	$ε 4$	6.8630	0.1810	9.1242	0.2524
	$ε 5$	8.4407	0.0278	8.7133	0.0938
SixHump（T=2）	$ε 1$	0.0043	0.0069	0.0085	0.0241
	$ε 2$	0.0069	0.0091	0.0112	0.0204
	$ε 3$	0.9295	0.0847	1.1831	0.2589
	$ε 4$	0.8103	0.0396	1.6063	0.0808
	$ε 5$	0.7778	0.0279	1.5213	0.1178
平均值	$ε 1$	0.0142	0.0040	0.0086	0.0160
	$ε 2$	0.0268	0.0102	0.0830	0.0283
	$ε 3$	9.8144	0.1633	10.9513	1.1569
	$ε 4$	9.1878	0.1526	9.3277	0.2771
	$ε 5$	8.4710	0.0364	10.8694	0.6962

表3

图6

图7

图8

表4

SK与OK模型在3种测试函数下的拟合分布参数（k =40）"

测试函数	噪声水平	SK			OK
测试函数	噪声水平	$μ M C$	$σ M C$	$μ M C$	$σ M C$
Branin（T=10）	$ε 1$	9.9660	0.2425	9.9650	0.4554
	$ε 2$	10.0111	0.2758	10.0724	1.5588
	$ε 3$	10.0414	0.6770	10.3347	1.7780
	$ε 4$	9.9514	0.4991	10.0654	0.7038
	$ε 5$	10.0057	0.2315	10.2799	1.3412
Sasena（T=20）	$ε 1$	19.9630	0.2242	19.9394	0.2909
	$ε 2$	19.9858	0.2438	19.9220	0.2732
	$ε 3$	19.9334	0.3888	19.9338	0.4378
	$ε 4$	19.9531	0.4243	19.9272	0.3920
	$ε 5$	19.9572	0.1607	19.9105	0.2930
SixHump（T=2）	$ε 1$	2.0253	0.2200	1.9895	0.2743
	$ε 2$	2.0053	0.1809	2.0197	0.2371
	$ε 3$	2.0091	0.3077	2.1565	0.4967
	$ε 4$	2.0266	0.1650	1.9810	0.2839
	$ε 5$	2.0267	0.1650	2.0466	0.3401

表4

图9

表5

影响活塞循环周期的主要可控因子"

因子名称	单位	取值范围
活塞重量 $M$	千克	[30,60]
活塞表面积 $S$	平方米	[0.005,0.02]
初始气体体积 $V 0$	立方米	[0.002,0.01]
弹簧弹性系数 $K s$	牛/米	[1000,5000]
大气压力 $P 0$	牛/平方米	[90000,110000]
环境温度 $T$	开尔文	[290,296]
气体温度 $T 0$	开尔文	[340,360]

表5

图10

表6

各方法的可控因子最佳设置及其平均质量损失（噪声水平ε3）"

模型	质量损失函数	可控因子最佳设置			预测均值	平均质量损失
模型	质量损失函数	$M × 10 - 1$	$S × 102$	$V 0 × 103$	预测均值	平均质量损失
OK	TQL	5.87	1.61	2.05	0.237	$1.16 × 10 - 2$
OK	EQL	4.40	1.97	2.13	0.195	$6.31 × 10 - 5$
SK	TQL	5.42	1.99	2.00	0.196	$6.02 × 10 - 5$
SK	EQL	5.64	2.00	2.00	0.201	$1.10 × 10 - 5$
离线SK	EQL	5.38	1.99	2.06	0.202	$4.25 × 10 - 5$

表6

表7

各方法的可控因子最佳设置及其平均质量损失（噪声水平3ε3）"

模型	质量损失函数	可控因子最佳设置			预测均值	平均质量损失
模型	质量损失函数	$M × 10 - 1$	$S × 102$	$V 0 × 103$	预测均值	平均质量损失
OK	TQL	5.25	1.61	2.00	0.248	$8.97 × 10 - 3$
OK	EQL	5.79	2.00	2.00	0.208	$3.12 × 10 - 4$
SK	TQL	5.03	1.97	2.00	0.201	$1.87 × 10 - 4$
SK	EQL	5.76	1.98	2.03	0.203	$1.13 × 10 - 4$
离线SK	EQL	5.96	2.00	2.04	0.206	$2.23 × 10 - 4$

表7

图11

图12

表8

三种设计方案的质量成本对比"

质量成本	OK+EQL		SK+EQL		离线SK+EQL
质量成本	k=25	k=55	k=25	k=55	k=25	k=55
$C Q 1$	1.7316	0.1844	0.1386	0.0183	1.7225	2.1984
$C Q 2$	0.2957	0.1110	0.2795	0.0213	0.3452	0.2779
$C Q 3$	0.1145	0.2137	0.2036	0.1662	0.0527	0.0883
$E (C Q)$	2.1419	0.5091	0.6216	0.2058	2.1204	2.5646

表8

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