基于主动学习随机Kriging模型的在线质量设计方法

doi:10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2024.1370

Abstract

Abstract:

To address the low robustness of quality characteristics caused by unknown random noise， an online quality design method based on the active learning stochastic Kriging model is proposed. The online quality design method uses the active learning characteristic to select new sample points through the expected improvement criterion formulated under noisy response， then updates the model to improve prediction accuracy. The stochastic Kriging model is first constructed based on the initial design in the implementation process， then updated using active learning method， and finally， quality design is achieved through the expected quality loss function model. Numerical examples and simulation results demonstrated that the proposed method can obtain more accurate response surface model compared with methods using the ordinary Kriging model and offline stochastic Kriging. The proposed method can filter the noise and get more robust parameter design solutions with the same computation resources by utilizing the expected quality loss function model. Lastly， a quality cost evaluation method is proposed from an economic perspective， which evaluates the parameters of the design solutions obtained based on historical production data， providing managers with valuable information for decision-making.

Key words: robust parameter design, stochastic Kriging model, active learning, online quality design, quality cost

CLC Number:

O212.1

Chen Du,Chenglong Lin,Yuwei Shi, et al. An Online Quality Design Method Using Active Learning-Based Stochastic Kriging Model[J]. Chinese Journal of Management Science, 2026, 34(6): 171-186.

Figures/Tables 20

测试函数	函数表达式	输入空间
Branin	$f (x 1, x 2) = (x 2 - 5.1 4 π 2 x 12 + 5 π x 1 - 6) 2 + 10 × [(1 - 1 8 π) c o s (x 1) + 1] + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [- 5,10], x 2 ∈ [0,15]$
Sasena	$f (x 1, x 2) = 2 + 0.01 × (x 2 - x 12) 2 + (1 - x 1) 2 + 2 × (2 - x 2) 2 + 7 s i n (0.5 x 1) s i n (0.7 x 1 x 2) + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [0,5], x 2 ∈ [0,5]$
SixHump	$f (x 1, x 2) = (4 - 2.1 x 12 + 13 x 14) x 12 + x 1 x 2 + 4 × (x 22 - 1) x 22 + ε (x 1, x 2)$	$x 1 ∈ [- 2,2], x 2 ∈ [- 2,2]$

测试函数	噪声水平	SK			OK			PRS
测试函数	噪声水平	RMSE	MAPE	R²	RMSE	MAPE	R²	RMSE	MAPE	R²
Branin	$ε 1$	3.0042 3.0812	0.2846 0.2376	0.9942 0.9935	3.7644 6.0655	0.2969 0.5111	0.9900 0.9676	26.3487	1.7688	0.5914
	$ε 2$	3.0042 3.0812	0.2846 0.2376	0.9942 0.9935	3.7644 6.0655	0.2969 0.5111	0.9900 0.9676	26.149	1.8444	0.5804
	$ε 3$	3.7608	0.3432	0.9916	8.1683	0.7135	0.9469	26.9477	1.8217	0.4619
	$ε 4$	2.8871	0.2082	0.9939	5.2741	0.4593	0.9796	27.2716	1.7094	0.5089
	$ε 5$	2.6341	0.1967	0.9953	6.4183	0.3994	0.9746	28.4861	1.7532	0.4904
Sasena	$ε 1$	1.6567 1.7056	0.2991 0.3748	0.9335 0.9356	1.8622 1.9135	0.3340 0.3454	0.9226 0.9104	4.5045	1.0402	0.5577
	$ε 2$	1.6567 1.7056	0.2991 0.3748	0.9335 0.9356	1.8622 1.9135	0.3340 0.3454	0.9226 0.9104	4.3590	1.2071	0.5901
	$ε 3$	1.7970	0.1882	0.9196	1.8744	0.8463	0.9222	3.8015	0.8477	0.7148
	$ε 4$	1.7306	0.2344	0.9350	1.9214	0.3639	0.9117	3.7663	1.3212	0.7191
	$ε 5$	1.6495	0.2615	0.9400	1.8500	0.3050	0.9020	3.6276	1.4982	0.7528
SixHump	$ε 1$	0.8365 0.8996	1.2125 2.4534	0.9940 0.9938	2.4001 2.5798	5.0452 5.9249	0.9531 0.9422	5.0124	5.1456	0.8025
	$ε 2$	0.8365 0.8996	1.2125 2.4534	0.9940 0.9938	2.4001 2.5798	5.0452 5.9249	0.9531 0.9422	5.0763	6.2325	0.8044
	$ε 3$	1.3375	4.4200	0.9857	2.8718	7.7487	0.9326	5.2113	8.9155	0.7986
	$ε 4$	0.9749	2.4323	0.9920	2.4720	7.1867	0.9455	5.0834	9.0221	0.8088
	$ε 5$	0.9421	2.4206	0.9910	2.6686	5.9504	0.9470	5.1704	7.1502	0.7982
平均值	$ε 1$	1.8325 1.8955	0.5987 1.0219	0.9739 0.9743	2.6756 3.5196	1.8920 2.2605	0.9552 0.9401	11.9552	2.6515	0.6505
	$ε 2$	1.8325 1.8955	0.5987 1.0219	0.9739 0.9743	2.6756 3.5196	1.8920 2.2605	0.9552 0.9401	11.8614	3.0947	0.6583
	$ε 3$	2.2188	1.6753	0.9761	4.3048	3.1028	0.9339	11.9868	3.8616	0.6584
	$ε 4$	1.8642	0.9583	0.9736	3.2225	2.6700	0.9456	12.0404	4.0176	0.6789
	$ε 5$	1.7419	0.9596	0.9754	3.6456	2.2183	0.9412	12.4280	3.4672	0.6805

测试函数	噪声水平	SK		OK
测试函数	噪声水平	TQL	EQL	TQL	EQL
Branin（T=10）	$ε 1$	0.0052	0.0019	0.0015	0.0109
	$ε 2$	0.0592	0.0202	0.2122	0.0514
	$ε 3$	19.1593	0.2128	20.3620	3.0137
	$ε 4$	19.8900	0.2372	17.2525	0.4980
	$ε 5$	16.1944	0.0536	22.3737	1.8771
Sasena（T=20）	$ε 2$	0.0332	0.0031	0.0157	0.0130
	$ε 2$	0.0144	0.0014	0.0256	0.0130
	$ε 3$	9.3543	0.1923	11.3088	0.1982
	$ε 4$	6.8630	0.1810	9.1242	0.2524
	$ε 5$	8.4407	0.0278	8.7133	0.0938
SixHump（T=2）	$ε 1$	0.0043	0.0069	0.0085	0.0241
	$ε 2$	0.0069	0.0091	0.0112	0.0204
	$ε 3$	0.9295	0.0847	1.1831	0.2589
	$ε 4$	0.8103	0.0396	1.6063	0.0808
	$ε 5$	0.7778	0.0279	1.5213	0.1178
平均值	$ε 1$	0.0142	0.0040	0.0086	0.0160
	$ε 2$	0.0268	0.0102	0.0830	0.0283
	$ε 3$	9.8144	0.1633	10.9513	1.1569
	$ε 4$	9.1878	0.1526	9.3277	0.2771
	$ε 5$	8.4710	0.0364	10.8694	0.6962

测试函数	噪声水平	SK			OK
测试函数	噪声水平	$μ M C$	$σ M C$	$μ M C$	$σ M C$
Branin（T=10）	$ε 1$	9.9660	0.2425	9.9650	0.4554
	$ε 2$	10.0111	0.2758	10.0724	1.5588
	$ε 3$	10.0414	0.6770	10.3347	1.7780
	$ε 4$	9.9514	0.4991	10.0654	0.7038
	$ε 5$	10.0057	0.2315	10.2799	1.3412
Sasena（T=20）	$ε 1$	19.9630	0.2242	19.9394	0.2909
	$ε 2$	19.9858	0.2438	19.9220	0.2732
	$ε 3$	19.9334	0.3888	19.9338	0.4378
	$ε 4$	19.9531	0.4243	19.9272	0.3920
	$ε 5$	19.9572	0.1607	19.9105	0.2930
SixHump（T=2）	$ε 1$	2.0253	0.2200	1.9895	0.2743
	$ε 2$	2.0053	0.1809	2.0197	0.2371
	$ε 3$	2.0091	0.3077	2.1565	0.4967
	$ε 4$	2.0266	0.1650	1.9810	0.2839
	$ε 5$	2.0267	0.1650	2.0466	0.3401

因子名称	单位	取值范围
活塞重量 $M$	千克	[30,60]
活塞表面积 $S$	平方米	[0.005,0.02]
初始气体体积 $V 0$	立方米	[0.002,0.01]
弹簧弹性系数 $K s$	牛/米	[1000,5000]
大气压力 $P 0$	牛/平方米	[90000,110000]
环境温度 $T$	开尔文	[290,296]
气体温度 $T 0$	开尔文	[340,360]

模型	质量损失函数	可控因子最佳设置			预测均值	平均质量损失
模型	质量损失函数	$M × 10 - 1$	$S × 102$	$V 0 × 103$	预测均值	平均质量损失
OK	TQL	5.87	1.61	2.05	0.237	$1.16 × 10 - 2$
OK	EQL	4.40	1.97	2.13	0.195	$6.31 × 10 - 5$
SK	TQL	5.42	1.99	2.00	0.196	$6.02 × 10 - 5$
SK	EQL	5.64	2.00	2.00	0.201	$1.10 × 10 - 5$
离线SK	EQL	5.38	1.99	2.06	0.202	$4.25 × 10 - 5$

模型	质量损失函数	可控因子最佳设置			预测均值	平均质量损失
模型	质量损失函数	$M × 10 - 1$	$S × 102$	$V 0 × 103$	预测均值	平均质量损失
OK	TQL	5.25	1.61	2.00	0.248	$8.97 × 10 - 3$
OK	EQL	5.79	2.00	2.00	0.208	$3.12 × 10 - 4$
SK	TQL	5.03	1.97	2.00	0.201	$1.87 × 10 - 4$
SK	EQL	5.76	1.98	2.03	0.203	$1.13 × 10 - 4$
离线SK	EQL	5.96	2.00	2.04	0.206	$2.23 × 10 - 4$

质量成本	OK+EQL		SK+EQL		离线SK+EQL
质量成本	k=25	k=55	k=25	k=55	k=25	k=55
$C Q 1$	1.7316	0.1844	0.1386	0.0183	1.7225	2.1984
$C Q 2$	0.2957	0.1110	0.2795	0.0213	0.3452	0.2779
$C Q 3$	0.1145	0.2137	0.2036	0.1662	0.0527	0.0883
$E (C Q)$	2.1419	0.5091	0.6216	0.2058	2.1204	2.5646

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An Online Quality Design Method Using Active Learning-Based Stochastic Kriging Model

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