含虚拟变量的新结构多变量灰色预测模型及其应用

doi:10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2024.0686

中国管理科学 ›› 2026, Vol. 34 ›› Issue (7): 84-94.doi: 10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2024.0686

含虚拟变量的新结构多变量灰色预测模型及其应用

曾波¹^,², 张凌波¹^,³, 刘思峰⁴(), 尹凤凤⁵, 夏超⁶

^1.重庆工商大学成渝地区双城经济圈建设研究院，重庆 400067
^2.重庆工商大学数学与统计学院，重庆 400067
^3.枣庄学院经济与管理学院，山东枣庄 277899
^4.西北工业大学管理学院，陕西西安 710072
^5.南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京 211106
^6.四川大学商学院，四川成都 610064

收稿日期:2024-05-03 修回日期:2024-07-06 出版日期:2026-07-25 发布日期:2026-06-18
通讯作者: 刘思峰 E-mail:sfliu@nwpu.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金项目(72071023);国家自然科学基金项目(72561025);重庆市教委科学技术研究重点项目(KJZD-K202403301);重庆市教委科学技术研究重点项目(KJZD-K202502103);教育部人文社科规划项目(24YJAZH141);重庆市自然科学基金项目(CSTB2023NSCQ-MSX0380);重庆市自然科学基金项目(CSTB2025NSCQ-GPX0684);重庆市高等教育教学改革研究重点项目(252102)

A New Structural Multi-variable Grey Forecasting Model with Virtual Variables and Its Application

Bo Zeng¹^,², Lingbo Zhang¹^,³, Sifeng Liu⁴(), Fengfeng Yin⁵, Chao Xia⁶

^1.Institute for Chengdu-Chongqing Economic Zone Development，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China
^2.School of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China
^3.School of Economics and Management，Zaozhuang University，Zaozhuang 277899，China
^4.School of Management，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China
^5.College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China
^6.Business School，Sichuan University，Chengdu 610064，China

Received:2024-05-03 Revised:2024-07-06 Online:2026-07-25 Published:2026-06-18
Contact: Sifeng Liu E-mail:sfliu@nwpu.edu.cn

摘要/Abstract

摘要：

科学预测实体变量和虚拟变量（如税收政策）双重因素影响的制造业高新技术企业（简称MH_TE）研发经费，对于规避研发经费使用风险并确保其有序供给具有重要意义。为此，文章首先在多变量灰色预测模型NSGM（1，N）中引入虚拟变量，对NSGM（1，N）模型驱动项结构进行了拓展，在此基础上推导并构建了适用于MH_TE研发经费预测的新结构多变量灰色预测模型DVSGM（1，N），并进一步应用粒子群算法对该模型背景值系数进行了优化；然后，应用DVSGM（1，N）对MH_TE研发经费进行了建模分析，结果显示该模型综合误差仅为1.74%，其性能优于其他三种同类灰色预测模型（2.59%、7.48%、16.05%）；最后，应用DVSGM（1，N）对我国MH_TE研发经费进行了预测，并根据预测结果提出了相关对策及建议。本研究成果为预测高新技术企业研发经费提供了一种有效的建模工具，同时对丰富及完善多变量灰色预测模型方法体系具有积极意义。

关键词: 多变量灰色预测模型, 模型结构拓展, 虚拟变量驱动项, MH_TE研发经费预测

Abstract:

In contrast to traditional manufacturing enterprises， research and development （R&D） activities play a more pivotal role in product development， manufacturing， and decision-making processes within manufacturing high-tech enterprises （abbreviated as MH_TE）. Accurately forecasting R&D expenditures in MH_TE is essential for mitigating financial risks and ensuring a stable supply of resources. The factors influencing R&D expenditures can be broadly classified into two categories： Entity variables and Dummy variables. Entity variables are quantifiable metrics， such as the full-time equivalent of R&D personnel， new product development expenditures， patent applications， and effective invention patents. Dummy variables， on the other hand， are qualitative indicators that reflect attributes such as policy influences， typically assigned binary values of 0 or 1 based on their presence or absence. In this study， Dummy variables are incorporated into the multivariate grey prediction model NSGM（1，N）， and its driving term structure is extended to develop a novel model DVSGM（1，N）， specifically designed for predicting R&D expenditures in MH_TE. The model is optimized using a particle swarm optimization （PSO） algorithm to minimize relative simulation errors， with constraints applied to the time response and cumulative reduction types. The results demonstrate that DVSGM（1，N） achieves a significantly lower integrated error （1.74%） compared to other grey prediction models （2.59%， 7.48%， and 16.05%）， highlighting its superior predictive accuracy. The DVSGM（1，N） model is subsequently applied to forecast R&D expenditures for MH_TE in China， providing valuable insights for policy formulation. The findings indicate that R&D expenditures are projected to reach 3，263，879 million yuan within a decade， underscoring both the substantial financial support for technological advancement and the potential financial strain on enterprises. To address these challenges， it is recommended that enterprises enhance the efficiency of R&D outcomes， while the government should implement measures to alleviate financial burdens and foster effective collaboration between the public and private sectors. Not only a robust tool is provided for predicting R&D expenditures but also the methodological framework of multivariate grey prediction models is advanced by incorporating dummy variables. This innovation enhances the model's completeness and practical applicability， offering a more comprehensive approach to forecasting in the context of MH_TE.

Key words: multivariate grey forecasting model, structure model expansion, dummy variable driving term, R&D expenditures prediction of MH_TE

中图分类号:

N941.5

曾波,张凌波,刘思峰, 等. 含虚拟变量的新结构多变量灰色预测模型及其应用[J]. 中国管理科学, 2026, 34(7): 84-94.

Bo Zeng,Lingbo Zhang,Sifeng Liu, et al. A New Structural Multi-variable Grey Forecasting Model with Virtual Variables and Its Application[J]. Chinese Journal of Management Science, 2026, 34(7): 84-94.

图/表 10

表1

误差的含义及计算方法"

符号	含义	计算方法
$ε k$	残差	$ε k = x ̂ 10 k - x 10 k$
$Δ k$	相对模拟/预测百分误差	$ε k / x 10 k × 100 %$
$R M S E$	均方根误差	$1 / n - 1 × ∑ k = 2 n ε k 2$
$R 2$	拟合系数	$1 - ∑ k = 2 n ε k 2 / ∑ k = 2 n x ¯ 10 - x 10 k 2$
$M A P E$	平均绝对百分比误差	$∑ k = 2 n ε k / x 10 k × 100 % / n - 1$

表1

表2

图1

表3

MH_TE研发经费及自变量"

序号	研发经费 $X 10$	R&D人员全时当量 $X 20$	新产品开发经费支出 $X 30$	专利申请数 $X 40$	有效发明专利数 $X 50$	虚拟变量 $D 60$
1	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0
2	1.2591	1.0919	1.2267	1.4445	1.2227	0
……	……	……	……	……	……	……
18	17.9523	7.2486	20.6654	25.8003	121.6317	1

表3

表4

四个灰色模型对MH_TE研发经费的模拟值与预测值及误差"

$x 1 (0) (k)$		$G M (1, N)$		$D V C G M (1, N)$		$N S G M (1, N)$		$D V S G M (1, N)$
$x 1 (0) (k)$		$x ̂ 1 (0) k$	$Δ (k)$	$x ̂ 1 (0) k$	$Δ (k)$	$x ̂ 1 (0) k$	$Δ (k)$	$x ̂ 1 (0) k$	$Δ (k)$
训练集数据
1	1.0000	1.0000	-	1.0000	-	1.0000	-	1.0000	-
2	1.2591	0.7282	0.4216	0.8274	0.3429	1.3523	0.0740	1.2591	0.0000
3	1.5043	1.6153	0.0737	1.9246	0.2794	1.3331	0.1138	1.5404	0.0240
4	1.8074	2.1049	0.1646	2.0241	0.1199	1.7790	0.0157	1.6900	0.0650
5	2.1352	2.5924	0.2141	2.8115	0.3167	2.2855	0.0704	2.2580	0.0575
6	2.6698	2.9931	0.1211	3.4911	0.3076	2.6698	0.0000	2.6698	0.0000
7	3.4146	3.4556	0.0120	3.6667	0.0738	3.3024	0.0329	3.2666	0.0434
8	4.1145	4.3677	0.0615	4.9464	0.2022	4.2712	0.0381	4.2796	0.0401
9	4.7846	4.8109	0.0055	5.2898	0.1056	4.7713	0.0028	4.7925	0.0017
10	5.3026	5.3187	0.0030	5.8845	0.1097	5.1889	0.0215	5.2119	0.0171
11	6.1233	6.1044	0.0031	6.4759	0.0576	6.1150	0.0014	6.1205	0.0005
12	6.7244	6.8494	0.0186	7.1026	0.0562	6.7457	0.0032	6.7377	0.0020
13	7.2957	7.5804	0.0390	7.9548	0.0903	7.3130	0.0024	7.3020	0.0009
14	8.0345	8.2824	0.0309	8.8598	0.1027	8.0302	0.0005	8.0413	0.0009
15	8.4905	8.7951	0.0359	8.8538	0.0428	8.5674	0.0091	8.5217	0.0037
16	12.8251	13.3767	0.0430	15.8154	0.2332	12.7339	0.0071	12.7820	0.0034
测试集数据
17	15.6817	15.7903	0.0069	17.9808	0.1466	15.1357	0.0348	15.2259	0.0291
18	17.9523	18.2677	0.0176	20.4782	0.1407	17.7214	0.0129	17.8292	0.0069

表4

表5

图2

图3

表6

因变量及自变量未来10年初值化预测值"

年份	$X 1 (0)$	$X 2 (0)$	$X 3 (0)$	$X 4 (0)$	$X 5 (0)$	$D 6 (0)$
2023	19.7824	6.5089	24.8669	29.4201	151.8813	1
2024	23.0226	7.0552	30.4110	36.3184	185.9386	1
2025	27.0495	7.6464	37.3478	45.0241	227.4617	1
2026	31.8847	8.2862	46.0382	56.0189	278.0885	1
2027	37.6805	8.9788	56.9361	69.9131	339.8161	1
2028	44.6388	9.7284	70.6133	87.4788	415.0798	1
2029	53.0081	10.5400	87.7890	109.6940	506.8487	1
2030	63.0916	11.4185	109.3685	137.7966	618.7437	1
2031	75.2592	12.3697	136.4915	173.3540	755.1795	1
2032	89.9624	13.3994	170.5920	218.3507	921.5392	1

表6

表7

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年份	研发经费/亿元	R&D人员全时当量/万人年	新产品开发经费支出/亿元	专利申请数/件	有效发明专利数/件	虚拟变量
2005	362.5	17.3	415.7	16,823	6,658	0
2006	456.44	18.89	509.95	24,301	8,141	0
2007	545.32	24.82	652.03	34,446	13,386	0
2008	655.2	28.5	798.4	39,656	23,915	1
2009	774.05	35.94	925.08	51,989	31,830	1
2010	967.8	39.9	1,006.9	59,683	50,166	1
2011	1,237.8	42.7	1,528.0	77,725	67,428	1
2012	1,491.5	52.6	1,827.5	97,200	97,878	1
2013	1,734.4	55.9	2,069.5	102,532	115,884	1
2014	1,922.2	57.3	2,350.6	120,077	147,927	1
2015	2,219.7	59.0	2,574.6	114,562	199,728	1
2016	2,437.6	58.0	3,000.4	131,680	257,234	1
2017	2,644.7	59.0	3,421.3	158,354	306,431	1
2018	2,912.5	66.1	3,768.4	179,600	327,965	1
2019	3,077.8	63.9	4,389.3	199,660	365,523	1
2020	4,649.1	99.0	6,152.4	348,522	570,905	1
2021	5,684.6	112.0	7,510.0	397,524	685,428	1
2022	6,507.7	125.4	8,590.6	434,039	809,824	1

模型	训练集MAPE(%)	预测集MAPE(%)	综合RMSE	综合R²	综合MAPE(%)
GM(1,N)	8.32	1.22	0.29	0.9963	7.48
DVCGM(1,N)	16.27	14.37	1.213	0.9359	16.05
NSGM(1,N)	2.62	2.38	0.1677	0.9988	2.59
DVSGM(1,N)	1.73	1.8	0.1358	0.9992	1.74

含虚拟变量的新结构多变量灰色预测模型及其应用

A New Structural Multi-variable Grey Forecasting Model with Virtual Variables and Its Application

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